Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng \(d_1,d_2\) lần lượt có phương trình:
\(\frac{x-2}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{3}\)
\(\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z-1}{4}\)
Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng \(d_1,d_2\).
\(14x-4y-8z+3=0\) \(14x+4y+8z-3=0\) \(14x-4y-8z-3=0\) \(14x+4y-8z-3=0\) Hướng dẫn giải:\(d_1\) đi qua \(A\left(2;2;3\right)\) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{d_1}}=\left(2;1;3\right)\).
\(d_2\) đi qua \(B\left(1;2;1\right)\) có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow{u_{d_2}}=\left(2;-1;4\right)\).
Do mặt phẳng (P) cách đều hai đường thẳng \(d_1,d_2\) nên mặt phẳng cần tìm song song với hai đường thẳng \(d_1,d_2\) nên suy ra vecto pháp tuyến của (P) là:
\(\overrightarrow{n_P}=\left[\overrightarrow{u_{d_1}},\overrightarrow{u_{d_2}}\right]=\left(\left|\begin{matrix}1&3\\-1&4\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}3&2\\4&2\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&1\\2&-1\end{matrix}\right|\right)\)
\(=\left(7;-2;-4\right)\)
Vậy phương trình (P) có dạng 7x - 2y - 4z + d = 0.
Do mặt phẳng cách đều hai đường thẳng \(d_1,d_2\) nên \(d\left(A,\left(P\right)\right)=d\left(B,\left(P\right)\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left|7.2-2.2-4.3+d\right|}{\sqrt{69}}=\frac{\left|7.1-2.2-4.1+d\right|}{\sqrt{69}}\)
\(\Leftrightarrow\left|d-2\right|=\left|d-1\right|\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}d-2=d-1\\d-2=1-d\end{array}\right.\)
\(\Leftrightarrow d=\frac{3}{2}\)
Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là:
\(7x-2y-4z+\frac{3}{2}=0\)
\(\Leftrightarrow14x-4y-8z+3=0\)