Trong hệ tọa độ \(Oxyz\) cho \(A\left(2;4;1\right),B\left(-1;1;3\right)\) và mặt phẳng \(\left(P\right):x-3y+2z-5=0\).
Viết phương trình mặt phẳng \(\left(Q\right)\) đi qua \(A,B\) và vuông góc với mặt phẳng \(P.\)
\(\left(Q\right)\) đi qua \(A\) và \(B\), vuông góc với mặt phẳng \(\left(P\right)\) nên \(\left(Q\right)\) có vecto pháp tuyến \(\overrightarrow{n_Q}=\left[\overrightarrow{n_p,}\overrightarrow{AB}\right]\).
Ta có: \(\overrightarrow{n_P}=\left(1;-3;2\right)\)
\(\overrightarrow{AB}=\left(-3;-3;2\right)\)
\(\left[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{AB}\right]=\left(\left|\begin{matrix}-3&2\\-3&2\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}2&1\\2&-3\end{matrix}\right|;\left|\begin{matrix}1&-3\\-3&-3\end{matrix}\right|\right)\) \(=\left(0;-8;-12\right)\)
Phương trình mặt phẳng \(\left(Q\right)\) đi qua \(A\left(2;4;1\right)\) và có vec tơ pháp tuyến (0;-8;-12) là:
\(0\left(x-2\right)-8\left(y-4\right)-12\left(x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow-8y-12x+44=0\)\(\Leftrightarrow2y+3z-11=0\)