Trong không gian \(Oxyz\) cho tam giác \(ABC\) với các đỉnh \(A\left(1;2;-1\right),B\left(2;-1;3\right),C\left(-4;7;5\right).\)Tìm tọa độ chân đường phân giác trong góc \(B\) của tam giác đó.
\(D\left(\frac{-2}{3};\frac{11}{3};1\right)\) \(D\left(\frac{2}{3};\frac{11}{3};-1\right)\) \(D\left(\frac{-7}{3};\frac{-19}{3};-1\right)\) \(D\left(\frac{1}{2};1;1\right)\) Hướng dẫn giải:\(AB=\sqrt{\left(2-1\right)^2+\left(-1-2\right)^2+\left(3+1\right)^2}=\sqrt{26}\)
\(BC=\sqrt{\left(-4-2\right)^2+\left(7+1\right)^2+\left(5-3\right)^2}=\sqrt{104}\)
Gọi \(\left(x;y;z\right)\) là tọa độ chân đường phân giác trong của góc \(B.\) Theo tính chất của đường phân giác, ta có
\(\frac{DA}{DC}=\frac{BA}{BC}=\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{104}}=\sqrt{\frac{26}{104}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}\) (1)
Vì \(D\) nằm giữa \(A\) và \(C\) nên (1) \(\Leftrightarrow\overrightarrow{DA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}\Leftrightarrow\overrightarrow{CD}=-2\overrightarrow{AD}\)
\(\Leftrightarrow\left(x+4;y-7;z-5\right)=-2\left(x-1;y-2;z+1\right)=\left(-2x+2;-2y+40;-2z-2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+4=-2x+2\\y-7=-2y+4\\z-5=-2z-2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=-\frac{2}{3}\\y=\frac{11}{3}\\z=1\end{cases}\)
Đáp số: \(D\left(\frac{-2}{3};\frac{11}{3};1\right)\).