Cho khối tứ diện đều SABC cạnh a. E là trung điểm AB, F là điểm thỏa mãn \(AF=\frac{1}{3}AE.\). Tính diện tích thiết diện của khối chóp tạo bởi mặt phẳng qua F và song song với (SEC).
\(S_{td}=\frac{a^2\sqrt{2}}{36}\) \(S_{td}=\frac{a^2\sqrt{2}}{25}\) \(S_{td}=\frac{a^2\sqrt{2}}{49}\) \(S_{td}=\frac{a^2\sqrt{2}}{66}\) Hướng dẫn giải:
Tương tự câu trước, thiết diện là tam giác giác FGH cân tại F.
Do SE, CE là trung tuyến của các tam giác đều cạnh a nên \(SE=CE=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
Khi đó \(\frac{FG}{SE}=\frac{FH}{CE}=\frac{AF}{AE}=\frac{1}{3}\Rightarrow FG=FH=\frac{a\sqrt{3}}{6}.\)
\(\frac{HG}{SC}=\frac{AH}{AC}=\frac{AF}{AE}=\frac{1}{3}\Rightarrow HG=\frac{a}{3}.\)
Tách phẳng tam giác cân FGH:
Gọi I là trung điểm GH, khi đó FI là đường cao.
\(FI=\sqrt{GF^2-GI^2}=\sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2-\left(\frac{a}{6}\right)^2}=\frac{a\sqrt{2}}{6}\)
Vậy \(S_{FGH}=\frac{1}{2}GH.FI=\frac{1}{2}.\frac{a}{3}.\frac{a\sqrt{2}}{6}=\frac{a^2\sqrt{2}}{36}.\)