Cho hai điểm \(A\left(2;0;-1\right),B\left(0;-3;3\right)\). Tìm tọa độ điểm \(C\) trên tia \(Oy\) để tam giác \(ABC\) có diện tích bằng \(\sqrt{11}\) .
\(\left(0;-1;0\right)\) \(\left(1;1;1\right)\) \(\left(0;1;0\right)\) \(\left(0;-2;0\right)\) Hướng dẫn giải:Vì \(C\in Oy\) nên \(C\left(0;y;0\right)\Rightarrow\overrightarrow{AB}=\left(-2;-2;4\right),\overrightarrow{AC}=\left(-2;y;1\right)\)
Ta có
Độ dài của vec tơ tích có hướng của \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) bằng diện tích hình bình hành có hai cạnh \(AB\) và \(AC\), cũng là bằng \(2\) lần diện tích tam giác \(ABC\). Vậy ta có \(S_{ABC}=\sqrt{11}\)\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left|\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]\right|=\sqrt{11}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left|\left(\left|\begin{matrix}-2&4\\y&1\end{matrix}\right|,\left|\begin{matrix}4&-2\\1&-2\end{matrix}\right|,\left|\begin{matrix}-2&-2\\-2&y\end{matrix}\right|\right)\right|=\sqrt{11}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\left|\left(-4y-2,-6,-2y-4\right)\right|=\sqrt{11}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\sqrt{\left(4y+2\right)^2+36+\left(2y+4\right)^2}=\sqrt{11}\)
\(\Leftrightarrow20y^2+32y+12=0\)
\(\Leftrightarrow5y^2+8y+3=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}y=-1\\y=\frac{-3}{5}\left(l\right)\end{array}\right.\)
Đáp số: \(\left(0;-1;0\right)\)