Cho \(A\left(-1;2;3\right),B\left(1;-2;1\right).\)Tìm tọa độ điểm \(C\) trên mặt phẳng \(\left(xOy\right)\) sao cho \(A,B,C\) thẳng hàng.
\(\left(2;-4;0\right)\) \(\left(-2;4;0\right)\) \(\left(1;-2;0\right)\) \(\left(2;4;0\right)\) Hướng dẫn giải:\(C\in\left(xOy\right)\) nên tọa độ \(C\) có dạng \(\left(x;y;0\right)\). Ta có \(\overrightarrow{AC}\left(x+1;y-2;-3\right),\overrightarrow{AB}\left(2;-4;-2\right).\)
\(A,B,C\) thẳng hàng khi và chỉ khi tồn tại \(k\) sao cho
\(\overrightarrow{AC}=k.\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow\left(x+1;y-2;-3\right)=\left(2k;-4k;-2k\right)\)
\(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}x+1=2.k\\y-2=-4k\\-3=k.\left(-2\right)\end{cases}\)
Phương trình cuối tương đương với \(k=\frac{3}{2}\) và hai phương trình đầu cho \(\left\{{}\begin{matrix}x=2k-1=3-1=2\\y=2-4k=2-6=-4\end{matrix}\right.\).
Như vậy, có \(\overrightarrow{AC}=\frac{3}{2}\overrightarrow{AB}\) nên \(A,B,C\) thẳng hàng.
Đáp số: \(\begin{cases}x+1=2.k\\y-2=-4k\\-3=k.\left(-2\right)\end{cases}\)