Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng \(\sqrt{2}a\). Tam giác SAD cân tại S và mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp S.ABCD bằng \(\dfrac{4}{3}a^3\). Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD).
\(h=\frac{2}{3}a\) \(h=\frac{4}{3}a\) \(h=\frac{8}{3}a\) \(h=\frac{3}{4}a\) Hướng dẫn giải:
Diện tích hình vuông ABCD bằng \(\sqrt{2}a.\sqrt{2}a=2a^2\)
Trong mf (SAD) kẻ SE vuông góc với AD thì E cũng là trung điểm của AD. Vì mf(SAD) vuông góc với (ABCD) nên SE là đường cao của chóp tứ giác S.ABCD.
Ta có
\(SE=\frac{3.V_{S.ABCD}}{dt\left(ABCD\right)}=\frac{3.\frac{4}{3}a^3}{2a^2}=2a\)
=> \(SD=\sqrt{SE^2+ED^2}=\sqrt{\left(2a\right)^2+\left(\frac{\sqrt{2}a}{2}\right)^2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}a\)
Vì AB // DC => AB // mf(SDC) => k/c từ A xuống mf(SDC) = k/c từ B xuống mf(SDC).
Trong mf(SAD) kẻ AF vuông góc với SD thì AF chính là khoảng cách từ A xuống mf(SDC) vì:
\(AF\perp AD\)
\(AF\perp DC\) (vì mf(SAD) \(\perp\) mf(ABCD))
Trong tam giác cân SAD có AF là đường cao, ta có:
\(SD.AF=AD.SE\) (vì = 2 dt(SAD))
=> \(AF=\frac{AD.SE}{SD}=\frac{\sqrt{2}a.2a}{\frac{3\sqrt{2}a}{2}}=\frac{4}{3}a\)
Vậy khoảng cách từ B xuống mf(SDC) bằng \(\frac{4}{3}a\).