Phương trình \(z.\overline{z}+3\left(z-\overline{z}\right)=4-3i\) có nghiệm là
\(z=\frac{\sqrt{15}}{2}-\frac{i}{2},z=\frac{-\sqrt{15}}{2}-\frac{i}{2}\). \(z=\frac{\sqrt{15}}{2}+\frac{i}{2},z=\frac{-\sqrt{15}}{2}-\frac{i}{2}\). \(z=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2},z=\frac{-\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\). \(z=\frac{-\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2},z=\frac{-\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\). Hướng dẫn giải:Đặt \(z=x+yi,\left(x,y\in\mathbb{R}\right)\)ta có \(\overline{z}=x-yi\)
\(z.\overline{z}=x^2+y^2,z-\overline{z}=2yi.\)
Thay vào phương trình ta có:
\(x^2+y^2+6yi=4-3i\)
Ta có hệ sau:
\(\begin{cases}x^2+y^2=4\\6y=-3\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=\pm\frac{\sqrt{15}}{2}\\y=\frac{-1}{2}\end{cases}\)
Vậy: \(z=\frac{\sqrt{15}}{2}-\frac{i}{2},z=\frac{-\sqrt{15}}{2}-\frac{i}{2}\).