Phương trình \(z^4+16=0\) có nghiệm là
\(\sqrt{2}+\sqrt{2}i,-\sqrt{2}-\sqrt{2}i,\sqrt{2}-\sqrt{2}i,-\sqrt{2}+\sqrt{2}i\). \(\sqrt{2}i,-\sqrt{2}i,2i,-2i\). \(\sqrt{2}+\sqrt{2}i;\sqrt{2}i-\sqrt{2};2i;-2i\). \(\sqrt{2}i,-\sqrt{2}i,4i,-4i\). Hướng dẫn giải:\(z^4+16=0\Leftrightarrow z^4-\left(4i\right)^2=0\Leftrightarrow\left(z^2-4i\right)\left(z^2+4i\right)=0\)
TH1: \(z^2-4i=0\Leftrightarrow z^2=4i\)
Gọi z = x + yi (với x, y là số thực) là một căn bậc hai của 4i ta có:
\(x^2-y^2+2xyi=4i\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-y^2=0\\2xy=4\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\\xy=2\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow x=y=\pm\sqrt{2}\) (chú ý: x và y là các số thực)
Suy ra có 2 nghiệm trong trường hợp này: \(\sqrt{2}+\sqrt{2}i;-\sqrt{2}-\sqrt{2}i.\)
TH2: \(z^2+4i=0\Leftrightarrow z^2=-4i\)
Gọi z = x + yi (với x, y là số thực) là một căn bậc hai của -4i ta có:
\(x^2-y^2+2xyi=-4i\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x^2-y^2=0\\2xy=-4\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\\xy=-2\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}x=\sqrt{2};y=-\sqrt{2}\\x=-\sqrt{2};y=\sqrt{2}\end{array}\right.\) (chú ý: x và y là các số thực)
Suy ra phương có thêm 2 nghiệm trong trường hợp này: \(\sqrt{2}-\sqrt{2}i,-\sqrt{2}+\sqrt{2}i.\)