Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left(x\right)=\sqrt{2x-1}\) là
\(\frac{2}{3}\left(2x-1\right)\sqrt{2x-1}+C\) \(\frac{1}{3}\left(2x-1\right)\sqrt{2x-1}+C\) \(-\frac{1}{3}\sqrt{2x-1}+C\) \(\frac{1}{2}\sqrt{2x-1}+C\) Hướng dẫn giải:Cách 1 (dùng MTCT): Vì \(f\left(1\right)=1\) nên ta tính \(\frac{\text{d}}{\text{d}x}\left(\frac{2}{3}\left(2x-1\right)\sqrt{2x-1}\right)|_{x=1}-1\), màn hình hiện kết quả khác \(0\), suy ra đáp số tương ứng (\(\int f\left(x\right)dx=\dfrac{2}{3}\left(2x-1\right)\sqrt{2x-1}+C\)) là sai. Tương tự, kiểm tra cả ba đáp số còn lại, các đáp số máy hiện kết quả khác \(0\) là đáp số sai, cần loại. Đáp số đúng là \(\int f\left(x\right)\text{d}x=\frac{1}{3}\left(2x-1\right)\sqrt{2x-1}+C\).
Cách 2 (biến đổi vi phân) : Có \(f\left(x\right)=\sqrt{2x-1}=\left(2x-1\right)^{\frac{1}{2}}\)
\(\int\left(2x-1\right)^{\frac{1}{2}}\text{d}x=\frac{1}{2}\int\left(2x-1\right)^{\frac{1}{2}}\left(2x-1\right)=\frac{1}{2}.\frac{1}{\frac{1}{2}+1}\left(2x-1\right)^{\frac{1}{2}+1}+C\)
\(=\dfrac{1}{3}\left(2x-1\right)\sqrt{2x-1}+C\).