Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12 cm. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông bằng nhau cạnh x cm, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được khối hộp chữ nhật không nắp. Tính x sao cho thể tích khối hộp là lớn nhất?
x = 6.x = 3.x = 2.x = 4.Hướng dẫn giải:Gọi a là cạnh tấm nhôm. Ta có 0 < x < a/2
Thể tích khối hộp là:
\(V\left(x\right)=x\left(a-2x\right)^2\)
Ta phải tim x trong khoảng (0 ; a/2) để V(x) là lớn nhất.
Ta có \(V'\left(x\right)=\left(a-2x\right)^2+2.x.\left(a-2x\right)\left(-2\right)=\left(a-2x\right)\left(a-6x\right)\)
V'(x) = 0 khi x = a/6 hoặc x = a/2. Trên khoảng (0; a/2) chỉ có x = a/6 làm cho V'(x) = 0. Ta lập bảng biến thiên của V(x) như sau:
Từ bảng biến thiên ta thấy V(x) lớn nhất bằng \(\frac{2a^3}{27}\) khi x = a/6 = 12/6 = 2 cm