Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) sao cho đồ thị hàm số \(y=x^4+2mx^2+1\) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân?
\(m=-\dfrac{1}{\sqrt[3]{9}}\).\(m=-1\).\(m=\dfrac{1}{\sqrt[3]{9}}\).\(m=1\).Hướng dẫn giải:Ta có \(y'=4x^3+4mx=4x\left(x^2+m\right)\).
Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân thì điều kiện cần là \(y'\) phải có ba nghiệm phân biệt, suy ra \(m< 0\).
Khi đó \(y'\) có ba nghiệm là \(0;-\sqrt{-m};\sqrt{-m}\) và tọa độ ba điểm cực trị là:
- Thay \(x=0\) vào \(y\) ta được \(y=1\Rightarrow\) \(A\left(0;1\right)\)
- Thay \(x=-\sqrt{-m}\) vào \(y\) ta có \(y=\left(-\sqrt{-m}\right)^4+2m\left(-\sqrt{-m}\right)^2+1=-m^2+1\Rightarrow\) \(B\left(-\sqrt{-m};-m^2+1\right)\)
- Thay \(x=\sqrt{-m}\) vào \(y\) ta có \(y=\left(\sqrt{-m}\right)^2+2m\left(\sqrt{-m}\right)^2+1=-m^2+1\Rightarrow\) \(C\left(\sqrt{-m};-m^2+1\right)\)
Dễ thấy \(A\) nằm trên trục tung; \(B\) và \(C\) đối xứng nhau qua trục tung. Vậy tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) và tam giác này sẽ vuông cân khi và chỉ khi \(\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}\Leftrightarrow\) \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\) \(\Leftrightarrow\left(-\sqrt{-m};-m^2\right).\left(\sqrt{-m};-m^2\right)=0\)\(\Leftrightarrow-\left(-m\right)+m^4=0\Leftrightarrow m=-1\) (do điều kiện \(m< 0\)).