Với các giá trị nào của \(m\) thì hàm số \(y=x^3-3x^2+3mx+1\) có hai điểm cực trị nhỏ hơn \(2\) ?
\(m>0\) \(m< 1\) \(m< 0\) ; \(m>1\) \(0< m< 1\) Hướng dẫn giải:\(y'=3x^2-6x+3m.\) Hàm số có cực trị khi và chỉ khi \(y'\) có 2 nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow\Delta'=9-9m>0\Leftrightarrow m< 1\) (1).
Với điều kiện (1) thì \(y'\) có \(2\) nghiệm \(x_{1,2}\) (với \(x_1< x_2\) ) và yêu cầu bài toán tương đương với \(x_1< x_2< 2\), tức là số \(2\) nằm bên phải khoảng \(\left(x_1;x_2\right)\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y'\left(2\right)=3m>0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}< 2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\1< 2\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow m>0.\) Kết hợp điều kiện (1) suy ra đáp số là \(0< m< 1\).