Tìm $x$ để \(x^3-4x+3>0\) ?
\(x\in\left(-\infty;\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\right)\cup\left(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\infty\right)\). \(x>1\). \(x\in\left(\frac{-1-\sqrt{13}}{2};1\right)\cup\left(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\infty\right)\). \(x\in\left(\frac{-1-\sqrt{13}}{2};\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\right)\). Hướng dẫn giải:Đa thức vế trái có tổng các hệ số bằng 0 nên dễ thấy nó có nghiệm x = 1. Ta chia đa thức vế trái cho x - 1 để phân tích nó thành dạng \(\left(x-1\right)\left(ax^2+bx+c\right)\).
Đem chia $x^3 - 4x + 3$ cho $x-1$ ta được thương là $x^2+x-3$. Vậy \(x^3-4x+3=\left(x-1\right)\left(x^2+x-3\right)\).
Ta xét tiếp tam thức bậc hai \(x^2+x-3\) có hai nghiệm là \(\frac{-1-\sqrt{13}}{2};\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\) . Suy ra
\(x^2+x-3=\left(x-\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\right)\left(x-\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\right)\)
\(\Rightarrow x^3-4x+3=\left(x-1\right)\left(x-\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\right)\left(x-\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\right)\)
Ba nghiệm của đa thức sắp xếp từ bé đến lớn là: \(\frac{-1-\sqrt{13}}{2};1;\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\).
Vậy đa thức có dấu âm trong khoảng \(\left(-\infty;\frac{-1-\sqrt{13}}{2}\right)\) (vì cả ba thừa số đều âm); dương trong khoàng \(\left(\frac{-1-\sqrt{13}}{2};1\right)\); âm trong khoảng \(\left(1;\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\right)\) , dương trong khoảng \(\left(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\infty\right)\).
Vậy để đa thức dương thì \(x\in\left(\frac{-1-\sqrt{13}}{2};1\right)\cup\left(\frac{-1+\sqrt{13}}{2};\infty\right)\).