Cho hàm số \(y=\frac{mx^2+\left(m^2+m+2\right)x+m^2+3}{x+1}\). Tìm $m$ để khoảng cách từ gốc tọa độ đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất?
$m=0$. $m=1$. $m=2$. $m=-1$. Hướng dẫn giải:\(y=\frac{mx^2+\left(m^2+m+2\right)x+m^2+3}{x+1}\)
\(=\frac{\left(mx^2+mx\right)+\left(m^2+2\right)x+\left(m^2+2\right)+1}{x+1}\)
\(=\frac{mx\left(x+1\right)+\left(m^2+2\right)\left(x+1\right)+1}{x+1}\)
\(=mx+m^2+2+\frac{1}{x+1}\)
Ta có:
\(\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\left(y-mx-m^2-2\right)=\lim\limits_{x\rightarrow\pm\infty}\frac{1}{x+1}=0\)
Vậy đồ thị đứng hoặc xiên của hàm số là \(y=mx+m^2+2\).
Hay là: \(mx-y+m^2+2=0\)
Khoảng cách từ gốc tọa độ O(0;0) đến đường thẳng này là:
\(\frac{\left|m.0-0+m^2+2\right|}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{m^2+2}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{m^2+1+1}{\sqrt{m^2+1}}\)
\(=\sqrt{m^2+1}+\frac{1}{\sqrt{m^2+1}}\ge2\sqrt{\sqrt{m^2+1}\frac{1}{\sqrt{m^2+1}}}=2\) (Áp dụng bđt Côsi)
Khoảng cách bé nhất bằng 2 khi
\(\sqrt{m^2+1}=\frac{1}{\sqrt{m^2+1}}\) => m = 0.