Cho hàm số $y=(m^{2}-1)\frac{x^{3}}{3}+(m+1)x^{2}+3x+4$ . Điều kiện cần và đủ để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) là
$m \leq -1$ hoặc $m\geq 2$.$m\leq -1$.$m\leq 2$.$m \geq 2$.Hướng dẫn giải:\(y'=\left(m^2-1\right)x^2+2\left(m+1\right)x+3\)
a) Xét \(m^2-1=0\) hay \(m=1\) hoặc \(m=-1\)
- Với \(m=1\) thì \(y'=4x+3\). Ta có \(y'\ge0\) khi \(x\ge-\frac{3}{4}\) và \(y'< 0\) khi \(x< -\frac{3}{4}\). Tức là hàm số đồng biến trên [-3/4; \(+\infty\)) và nghịch biến trên (\(-\infty\);-3/4). Vậy với $m = 1$ không thỏa mãn
- Với \(m=-1\) thì \(y'=3\). Ta có \(y'\ge0\) với mọi $x$ nên hàm số luôn đồng biến trên tập số thực R. Vậy với m = -1 thỏa mãn.
b) Xét \(m\ne\pm1\)
Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(y'\ge0\) với mọi x.
y' là tam thức bậc 2, để \(y'\ge0\) với mọi x thì điều kiện là: hệ số a > 0 và \(\Delta\le0\), hay là:
\(\begin{cases}m^2-1>0\\\Delta'=\left(m+1\right)^2-3\left(m^2-1\right)\le0\end{cases}\)
<=> \(\begin{cases}m< -1;m>1\\-m^2+m+2\le0\end{cases}\)
<=> \(\begin{cases}m< -1;m>1\\\left(m-2\right)\left(m+1\right)\ge0\end{cases}\)
<=> \(\begin{cases}m< -1;m>1\\m\le-1;m\ge2\end{cases}\)
Biểu diễn các điều kiện trên trục số ta rút ra được \(m\in\left(-\infty;-1\right)\cup\)[2;+\(\infty\))
Kết hợp với trường hợp a, ta kết luận: \(m\in\) (\(-\infty\); -1] \(\cup\) [2; +\(\infty\)).