Giải phương trình \(\cos2x+\cos4x+\cos6x=\cos x\cos2x\cos3x+2\).
Phương trình vô nghiệm.\(x=k\pi\) với \(k\in Z.\)\(x=k\dfrac{\pi}{2}\) với \(k\in Z.\)\(x=k\dfrac{\pi}{3}\) với \(k\in Z.\)Hướng dẫn giải:Biến đổi tích \(\cos x\cos2x\cos3x\) bên vế phải thành tổng (hai lần), ta có phương trình tương đương:
\(\Leftrightarrow\cos2x+\cos4x+\cos6x=\frac{1}{2}\left(\cos3x+\cos x\right)\cos3x+2\)
\(\Leftrightarrow\cos2x+\cos4x+\cos6x=\frac{1}{2}\cos^23x+\frac{1}{2}\cos x\cos3x+2\)
\(\Leftrightarrow\cos2x+\cos4x+\cos6x=\frac{1}{4}\left(\cos6x+1\right)+\frac{1}{4}\left(\cos4x+\cos2x\right)+2\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{4}\cos2x+\frac{3}{4}\cos4x+\frac{3}{4}\cos6x=\frac{9}{4}\)
\(\Leftrightarrow\cos2x+\cos4x+\cos6x=3\)
\(\Leftrightarrow\left(1-\cos2x\right)+\left(1-\cos4x\right)+\left(1-\cos6x\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\cos2x=1\\\cos4x=1\\\cos6x=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\cos2x=1\\2\cos^22x-1=1\\4\cos^32x-3\cos2x=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\cos2x=1\Leftrightarrow2x=2k\pi\Leftrightarrow x=k\pi,\left(k\in\mathbb{Z}\right)\)