Giải phương trình:
\(\sin^5x+\cos^5x=1\)
Phương trình vô nghiệm \(x=2k\pi;x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\) với \(k\in Z.\) \(x=\frac{\pi}{2}+k\pi\) với \(k\in Z.\) \(x=k\frac{\pi}{2}\) với \(k\in Z.\) Hướng dẫn giải:
\(\sin^5x+\cos^5x=1\)
\(\Leftrightarrow\sin^5x+\cos^5x=\sin^2x+\cos^2x\)
\(\Leftrightarrow\sin^2x\left(\sin^3x-1\right)+\cos^2x\left(\cos^3x-1\right)=0\) (*)
Vì \(-1\le\sin x;\cos x\le1\) nên \(\begin{cases}\sin^2x\left(\sin^3x-1\right)\le0\\\cos^2x\left(\cos^3x-1\right)\le0\end{cases}\)
Suy ra \(\sin^2x\left(\sin^3x-1\right)+\cos^2x\left(\cos^3x-1\right)\le0\)
Phương trình (*) xảy ra khi:
\(\begin{cases}\sin^2x\left(\sin^3x-1\right)=0\\\cos^2x\left(\cos^3x-1\right)=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}\sin x=0\\\sin x=1\end{matrix}\right.\\\cos^2x\left(\cos^3x-1\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}\cos x=-1\\\cos x=1\\\sin x=1\end{matrix}\right.\\\cos^2x\left(\cos^3x-1\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\cos x=1\\\sin x=1\end{matrix}\right.\) (vì khi \(\sin x=1\) thì \(\cos x=0\))
\(\Leftrightarrow x=2k\pi;x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\left(k\in\mathbb{Z}\right)\)