Giải phương trình \(3\tan^2x+4\tan x+4\cot x+3\cot^2x+2=0\)
\(\left[\begin{array}{nghiempt}x=arcsin\left(3\right)+2k\pi\\x=\pi-arcsin\left(3\right)+2k\pi\\x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in Z.\) \(\left[\begin{array}{nghiempt}x=arcsin\left(3\right)+2k\pi\\x=\pi-arcsin\left(3\right)+2k\pi\end{array}\right.\) với \(k\in Z.\) \(x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\) với \(k\in Z.\) \(x=\frac{\pi}{2}+2k\pi\) với \(k\in Z.\) Hướng dẫn giải:
Phương trình đối xứng đối với tan và cot.
Phương trình tương đương với:
\(3\left(\tan^2x+\cot^2x\right)+4\left(\tan x+\cot x\right)+2=0\)
Đặt \(t=\tan x+\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x}=\frac{2}{\sin2x}\)
Điều kiện: \(\left|t\right|\ge2\) (do \(\left|\sin2x\right|\le1\))
Khi đó: \(\tan^2x+\cot^2x=\left(\tan x+\cot x\right)^2-2=t^2-2\)
Vậy phương trình trở thành:
\(3\left(t^2-2\right)+4t+2=0\)
\(\Leftrightarrow3t^2+4t-4=0\)
\(\Leftrightarrow\left[\begin{array}{nghiempt}t=\frac{2}{3}\left(loại\right)\\t=-2\end{array}\right.\)
Vậy \(\frac{2}{\sin2x}=-2\)
\(\Leftrightarrow\sin2x=-1\)
\(\Leftrightarrow2x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi\) (với \(k\in\mathbb{Z}\))
\(\Leftrightarrow x=-\frac{\pi}{4}+k\pi\) với \(k\in Z.\)