Question

Cho x, y, z thỏa mãn \(0\le x,y,z\le2\) và \(x+y+z=3\). Tìm GTLN của biểu thức \(Q=x^2+y^2+z^2\)

Answer 1

\(0\le x;y;z\le2\Rightarrow\left(2-x\right)\left(2-y\right)\left(2-z\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow8+2\left(xy+yz+zx\right)-4\left(x+y+z\right)-xyz\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(xy+yz+zx\right)\ge4+xyz\ge4\)

\(\Rightarrow xy+yz+zx\ge2\)

\(\Rightarrow Q=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\le9-2.2=5\)

\(Q_{max}=5\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(0;1;2\right)\) và hoán vị