Câu hỏi của Egoo

Question

Với a, b, c là các số dương thỏa mãn $ab+bc=2ac$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

$P=\frac{a+b}{2a-b}+\frac{c+b}{2c-b}$

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

$ab+bc=2ac\Leftrightarrow\frac{ab+bc}{ac}=2\Leftrightarrow\frac{b}{c}+\frac{b}{a}=2$

Đặt $\left(\frac{b}{a};\frac{b}{c}\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow x+y=2$

$P=\frac{1+\frac{b}{a}}{2-\frac{b}{a}}+\frac{1+\frac{b}{c}}{2-\frac{b}{c}}=\frac{1+x}{2-x}+\frac{1+y}{2-y}=\frac{3+x-2}{2-x}+\frac{3+y-2}{2-y}$

$P=3\left(\frac{1}{2-x}+\frac{1}{2-y}\right)-2=3\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right)-2\ge\frac{12}{x+y}-2=4$

$P_{min}=4$ khi $x=y=1$ hay $a=b=c$Câu trả lời: $ab+bc=2ac\Leftrightarrow\frac{ab+bc}{ac}=2\Leftrightarrow\frac{b}{c}+\frac{b}{a}=2$

Đặt $\left(\frac{b}{a};\frac{b}{c}\right)=\left(x;y\right)\Rightarrow x+y=2$

$P=\frac{1+\frac{b}{a}}{2-\frac{b}{a}}+\frac{1+\frac{b}{c}}{2-\frac{b}{c}}=\frac{1+x}{2-x}+\frac{1+y}{2-y}=\frac{3+x-2}{2-x}+\frac{3+y-2}{2-y}$

$P=3\left(\frac{1}{2-x}+\frac{1}{2-y}\right)-2=3\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\right)-2\ge\frac{12}{x+y}-2=4$

$P_{min}=4$ khi $x=y=1$ hay $a=b=c$

Violympic toán 9