Question

cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA=a và vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là điểm thuộc cạnh AC sao cho AM=3MC. Gọi (a) là mặt phẳng qua M và vuông góc với cạnh AC. Xác định thiết diện của hình chóp đã cho khi cắt bởi mặt phẳng (a) và tính diện tích thiết diện đó

Answer 1

Gọi N là trung điểm AC \(\Rightarrow BN\perp AC\)

\(AM=3MC\Rightarrow AM=\frac{3}{4}AC\Rightarrow M\) là trung điểm CN

Trong mp (ABC), qua M kẻ đường thẳng song song BN cắt BC tại P \(\Rightarrow\) P là trung điểm BC (đường trung bình) và \(MP\perp AC\)

Trong mp (SAC), qua M kẻ đường thẳng song song SA cắt SC tại Q \(\Rightarrow MQ\perp AC\)

\(\Rightarrow AC\perp\left(MPQ\right)\Rightarrow\) tam giác vuông MPQ là thiết diện của (a) và chóp

\(\frac{MQ}{SA}=\frac{CM}{AC}=\frac{1}{4}\Rightarrow MQ=\frac{SA}{4}=\frac{a}{4}\)

\(BN=\frac{a\sqrt{3}}{2}\) (trung tuyến tam giác đều) \(\Rightarrow MP=\frac{1}{2}BN=\frac{a\sqrt{3}}{4}\)

\(S_{\Delta MNP}=\frac{1}{2}MP.MQ=\frac{a^2\sqrt{3}}{32}\)