Bài 6: Ôn tập chương Vecơ trong không gian. Quan hệ vuông góc trong không gian.

Phụng Nguyễn Thị

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , \(SA=a\sqrt{2}\) , \(SA\perp\left(ABCD\right)\)

Gọi H , K tương ứng là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB , SD . Chứng minh rằng

a) \(BD\perp SC\)

b) \(SC\perp\left(AHK\right)\)

c) Tính góc giữa đường thẳng SC và mp (SAD)

d) Tính góc giữa (SBC) và (SCD)

e) Gọi O là tâm ABCD . Tìm thiết diện của hình chóp với mp qua O và vuông góc SC

Nguyễn Việt Lâm
2 tháng 6 2020 lúc 17:39

a/ \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\\BD\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)

\(\Rightarrow BD\perp SC\)

b/ \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp BC\\BC\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AH\)

\(AH\perp SB\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH\perp SC\) (1)

Tương tự ta có \(AK\perp\left(SCD\right)\Rightarrow AK\perp SC\) (2)

(1);(2) \(\Rightarrow SC\perp\left(AHK\right)\)

c/ \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp CD\\CD\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\)

\(\Rightarrow SD\) là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAD)

\(\Rightarrow\widehat{CSD}\) là góc giữa SC và (SAD)

\(SD=\sqrt{AD^2+SA^2}=a\sqrt{3}\Rightarrow tan\widehat{CSD}=\frac{CD}{SD}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow\widehat{CSD}=30^0\)

d/ Kẻ AI vuông góc SC \(\Rightarrow AI\in\left(AHK\right)\)

Do \(SC\perp\left(AHK\right)\Rightarrow\widehat{HIK}\) là góc giữa (SBC) và (SCD)

\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AB^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}\Rightarrow AK=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)

\(\frac{1}{AI^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AC^2}\Rightarrow AI=a\)

\(\Rightarrow sin\widehat{AIH}=\frac{AH}{AI}=\frac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow\widehat{AIH}\approx54^044'\)

\(\Rightarrow\widehat{HIK}=2\widehat{AIH}\approx109^028'\)

e/ Từ O kẻ \(OP\perp SC\Rightarrow SC\perp\left(PBD\right)\)

\(\Rightarrow\) Tam giác PBD là thiết diện cần tìm

\(OP=\frac{1}{2}AI=\frac{a}{2}\) (đường trung bình)

\(\Rightarrow S_{\Delta PBD}=\frac{1}{2}OP.BD=\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.a\sqrt{2}=\frac{a^2\sqrt{2}}{4}\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Ngô Chí Thành
Xem chi tiết
dung doan
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Nguyễn Thùy Chi
Xem chi tiết
Minh Thư
Xem chi tiết