Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , \(SA=a\sqrt{2}\) , \(SA\perp\left(ABCD\right)\)
Gọi H , K tương ứng là hình chiếu vuông góc của điểm A lên SB , SD . Chứng minh rằng
a) \(BD\perp SC\)
b) \(SC\perp\left(AHK\right)\)
c) Tính góc giữa đường thẳng SC và mp (SAD)
d) Tính góc giữa (SBC) và (SCD)
e) Gọi O là tâm ABCD . Tìm thiết diện của hình chóp với mp qua O và vuông góc SC
a/ \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp\left(ABCD\right)\Rightarrow SA\perp BD\\BD\perp AC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BD\perp\left(SAC\right)\)
\(\Rightarrow BD\perp SC\)
b/ \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp BC\\BC\perp AB\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow BC\perp\left(SAB\right)\Rightarrow BC\perp AH\)
Mà \(AH\perp SB\Rightarrow AH\perp\left(SBC\right)\Rightarrow AH\perp SC\) (1)
Tương tự ta có \(AK\perp\left(SCD\right)\Rightarrow AK\perp SC\) (2)
(1);(2) \(\Rightarrow SC\perp\left(AHK\right)\)
c/ \(\left\{{}\begin{matrix}SA\perp CD\\CD\perp AD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow CD\perp\left(SAD\right)\)
\(\Rightarrow SD\) là hình chiếu vuông góc của SC lên (SAD)
\(\Rightarrow\widehat{CSD}\) là góc giữa SC và (SAD)
\(SD=\sqrt{AD^2+SA^2}=a\sqrt{3}\Rightarrow tan\widehat{CSD}=\frac{CD}{SD}=\frac{1}{\sqrt{3}}\Rightarrow\widehat{CSD}=30^0\)
d/ Kẻ AI vuông góc SC \(\Rightarrow AI\in\left(AHK\right)\)
Do \(SC\perp\left(AHK\right)\Rightarrow\widehat{HIK}\) là góc giữa (SBC) và (SCD)
\(\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AB^2}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{6}}{3}\Rightarrow AK=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)
\(\frac{1}{AI^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AC^2}\Rightarrow AI=a\)
\(\Rightarrow sin\widehat{AIH}=\frac{AH}{AI}=\frac{\sqrt{6}}{3}\Rightarrow\widehat{AIH}\approx54^044'\)
\(\Rightarrow\widehat{HIK}=2\widehat{AIH}\approx109^028'\)
e/ Từ O kẻ \(OP\perp SC\Rightarrow SC\perp\left(PBD\right)\)
\(\Rightarrow\) Tam giác PBD là thiết diện cần tìm
\(OP=\frac{1}{2}AI=\frac{a}{2}\) (đường trung bình)
\(\Rightarrow S_{\Delta PBD}=\frac{1}{2}OP.BD=\frac{1}{2}.\frac{a}{2}.a\sqrt{2}=\frac{a^2\sqrt{2}}{4}\)