Violympic toán 9

Trần Thanh Phương

Một chú hệ #3GP liệu bạn có dám :]]

Giải hệ pt:

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+xy+y^2}=2\left(x+y\right)\\\left(8y-6\right)\sqrt{x-1}=\left(2+\sqrt{x-2}\right)\left(y+4\sqrt{y-2}+3\right)\end{matrix}\right.\)

Nguyễn Thị Ngọc Thơ
2 tháng 6 2020 lúc 0:24

(.) để hôm nào rảnh suy nghĩ.

Thi học kì chưa mà máu thế hả em?=))

Bình luận (0)
tthnew
2 tháng 6 2020 lúc 7:54

ĐK: \(x\ge2,y\ge2\)

Chú ý \(x^2+xy+2y^2\ge x^2+xy+2y^2-\frac{7}{16}\left(x-y\right)^2=...\)

(Đẳng thức xảy ra khi x = y)

Từ đó$:$ \(\sqrt{x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+xy+y^2}\)

$\geqq \frac{1}{4} \Big[(3x+5y) +(5x+3y)\Big]$

$=2(x+y)=\text{VP(1)}$

Đẳng thức xảy ra khi x = y.

Thay vào, PT(2) tương đương với$:$

\(\left(8x-6\right)\sqrt{x-1}=\left(2+\sqrt{x-2}\right)\left(x+4\sqrt{x-2}+3\right)\)

Đặt \(\sqrt{x-2}=a\left(a\ge0\right)\Rightarrow x=a^2+2\)

PT \(\Leftrightarrow\left(8a^2+10\right)\sqrt{a^2+1}=\left(2+a\right)\left(a^2+4a+5\right)\)

\(\Leftrightarrow\) $a (-4 + 3 a) (65 + 56 a + 86 a^2 + 24 a^3 + 21 a^4) =0$

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=\frac{4}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=2\\x=y=\frac{34}{9}\end{matrix}\right.\) (TMĐK)

Vậy....

Bình luận (0)
Cao ngocduy Cao
12 tháng 11 2021 lúc 8:08

ĐK: x≥2,y≥2x≥2,y≥2

Chú ý x2+xy+2y2≥x2+xy+2y2−716(x−y)2=...x2+xy+2y2≥x2+xy+2y2−716(x−y)2=...

(Đẳng thức xảy ra khi x = y)

Từ đó:: √x2+xy+2y2+√2x2+xy+y2x2+xy+2y2+2x2+xy+y2

≧14[(3x+5y)+(5x+3y)]≧14[(3x+5y)+(5x+3y)]

=2(x+y)=VP(1)=2(x+y)=VP(1)

Đẳng thức xảy ra khi x = y.

Thay vào, PT(2) tương đương với::

(8x−6)√x−1=(2+√x−2)(x+4√x−2+3)(8x−6)x−1=(2+x−2)(x+4x−2+3)

Đặt √x−2=a(a≥0)⇒x=a2+2x−2=a(a≥0)⇒x=a2+2

PT ⇔(8a2+10)√a2+1=(2+a)(a2+4a+5)⇔(8a2+10)a2+1=(2+a)(a2+4a+5)

⇔⇔ a(−4+3a)(65+56a+86a2+24a3+21a4)=0a(−4+3a)(65+56a+86a2+24a3+21a4)=0

⇔[a=0a=43⇒[x=y=2x=y=349⇔[a=0a=43⇒[x=y=2x=y=349 (TMĐK)

Vậy....

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Mỹ Lệ
Xem chi tiết
Kun ZERO
Xem chi tiết
Kim Trí Ngân
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết
Kun ZERO
Xem chi tiết
Kiều Ngọc Tú Anh
Xem chi tiết
Trần Thu Trang
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Anh
Xem chi tiết
Wang Soo Yi
Xem chi tiết