Violympic toán 9

Trần Thanh Phương

Một chú hệ #3GP liệu bạn có dám :]]

Giải hệ pt:

\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+xy+y^2}=2\left(x+y\right)\\\left(8y-6\right)\sqrt{x-1}=\left(2+\sqrt{x-2}\right)\left(y+4\sqrt{y-2}+3\right)\end{matrix}\right.\)

tthnew
tthnew 2 tháng 6 2020 lúc 7:54

ĐK: \(x\ge2,y\ge2\)

Chú ý \(x^2+xy+2y^2\ge x^2+xy+2y^2-\frac{7}{16}\left(x-y\right)^2=...\)

(Đẳng thức xảy ra khi x = y)

Từ đó$:$ \(\sqrt{x^2+xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+xy+y^2}\)

$\geqq \frac{1}{4} \Big[(3x+5y) +(5x+3y)\Big]$

$=2(x+y)=\text{VP(1)}$

Đẳng thức xảy ra khi x = y.

Thay vào, PT(2) tương đương với$:$

\(\left(8x-6\right)\sqrt{x-1}=\left(2+\sqrt{x-2}\right)\left(x+4\sqrt{x-2}+3\right)\)

Đặt \(\sqrt{x-2}=a\left(a\ge0\right)\Rightarrow x=a^2+2\)

PT \(\Leftrightarrow\left(8a^2+10\right)\sqrt{a^2+1}=\left(2+a\right)\left(a^2+4a+5\right)\)

\(\Leftrightarrow\) $a (-4 + 3 a) (65 + 56 a + 86 a^2 + 24 a^3 + 21 a^4) =0$

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=\frac{4}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=y=2\\x=y=\frac{34}{9}\end{matrix}\right.\) (TMĐK)

Vậy....

Bình luận (0)
Nguyễn Thị Ngọc Thơ
Nguyễn Thị Ngọc Thơ CTV 2 tháng 6 2020 lúc 0:24

(.) để hôm nào rảnh suy nghĩ.

Thi học kì chưa mà máu thế hả em?=))

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Loading...