Question

Cho các số dương a,b,c thỏa mãn: a+b+c=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

\(Q=\frac{1+a}{1+9b^2}+\frac{1+b}{1+9c^2}+\frac{1+c}{1+9a^2}\)

Answer 1

Ta có:

\(\frac{1+a}{1+9b^2}=a+1-\frac{9b^2\left(a+1\right)}{1+9b^2}\ge a+1-\frac{9b^2\left(a+1\right)}{2\sqrt{9b^2}}=a+1-\frac{3b\left(a+1\right)}{2}\)

Tương tự: \(\frac{1+b}{1+9c^2}\ge b+1-\frac{3c\left(1+b\right)}{2}\) ; \(\frac{1+c}{1+9a^2}\ge c+1-\frac{3a\left(c+1\right)}{2}\)

Cộng vế với vế:

\(Q\ge4-\frac{3}{2}\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}\left(ab+bc+ca\right)\)

\(Q\ge\frac{5}{2}-\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)^2=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)