Question

Cho đường tròn (C): \(x^2+\left(y+2\right)^2=16\) và đường thẳng d: \(6x-8y-46=0\). Đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d và cắt đường tròn theo một dây cung có độ dài bằng \(2\sqrt{7}\) . Đường thẳng ∆ chắn trên hai trục tọa độ một tam giác vuông có diện tích bằng mấy???

Answer 1

Đường tròn tâm \(I\left(0;-2\right)\) bán kính \(R=4\)

Áp dụng định lý Pitago:

\(d\left(I;\Delta\right)=\sqrt{R^2-\left(\frac{2\sqrt{7}}{2}\right)^2}=3\)

\(\Delta\) song song d nên pt \(\Delta\) có dạng: \(3x-4y+c=0\)

Áp dụng công thức khoảng cách:

\(d\left(I;\Delta\right)=\frac{\left|3.0-4.\left(-2\right)+c\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}=3\)

\(\Leftrightarrow\left|c+8\right|=15\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}c=7\\c=-23\end{matrix}\right.\)

Có 2 đường thẳng thỏa mãn: \(\left[{}\begin{matrix}3x-4y+7=0\\3x-4y-23=0\end{matrix}\right.\)

TH1: \(\Delta\) cắt Ox và Oy lần lượt tại \(A\left(0;\frac{7}{4}\right);B\left(-\frac{7}{3};0\right)\)

\(\Rightarrow S_{OAB}=\frac{1}{2}.\left|\frac{7}{4}\right|.\left|-\frac{7}{3}\right|=\frac{49}{24}\)

Th2: \(\Delta\) cắt Ox và Oy lần lượt tại \(A\left(0;-\frac{23}{4}\right);B\left(\frac{23}{3};0\right)\)

\(\Rightarrow S_{OAB}=\frac{1}{2}\left|-\frac{23}{4}\right|.\left|\frac{23}{3}\right|=\frac{529}{24}\)