Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\left|x\right|+y=-1\\x^2+y^2=m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x\right|+y=-1\\\left(\left|x\right|+y\right)^2-2\left|x\right|y=m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left|x\right|+y=-1\\\left|x\right|y=\frac{1-m}{2}\end{matrix}\right.\).
Theo định lý Viète đảo, |x| và y là hai nghiệm của phương trình:
\(2t^2+2t+\left(1-m\right)=0\). (*)
Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm trong đó có một nghiệm không âm.
Ta thấy nếu \(m< 1\) thì \(\left|x\right|y=\frac{1-m}{2}< 0;\left|x\right|+y=-1< 0\) nên \(\left|x\right|;y< 0\) (vô lí).
Do đó \(m\ge1\). Với \(m\ge1\) ta có \(2\left(1-m\right)\le0\) nên phương trình luôn có hai nghiệm trong đó có một nghiệm không âm. Do đó hệ phương trinh đã cho có nghiệm.
Vậy \(m\ge1\).
