Violympic toán 9

Đẹp Trai Không Bao Giờ S...

Cho x, y là các số dương thỏa mãn \(x+\frac{1}{y}\le1\). Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{x}{2y}+\frac{y}{x}\)

Nguyễn Việt Lâm
30 tháng 5 2020 lúc 14:33

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=a\\\frac{1}{y}=b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow1\ge a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow ab\le\frac{1}{4}\Rightarrow\frac{1}{ab}\ge4\)

\(P=\frac{ab}{2}+\frac{1}{ab}=\frac{ab}{2}+\frac{1}{32ab}+\frac{31}{32}.\frac{1}{ab}\ge2\sqrt{\frac{ab}{64ab}}+\frac{31}{32}.4=\frac{33}{8}\)

\(P_{min}=\frac{33}{8}\) khi \(a=b=\frac{1}{2}\) hay \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\y=2\end{matrix}\right.\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Dương Thanh Ngân
Xem chi tiết
Dương Thanh Ngân
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Lê Anh Ngọc
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
nam do
Xem chi tiết
tran thi mai anh
Xem chi tiết
Niii
Xem chi tiết