Violympic toán 9

Curry

GHPT: \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+y\right)^2=2xy\left(xy+1\right)\\\left(x+y\right)\left(1+xy\right)=2\left(x^2+y^2\right)\end{matrix}\right.\)

Akai Haruma
30 tháng 5 2020 lúc 10:36

Lời giải:

Ký hiệu 2PT trong hệ là PT$(1)$ và $(2)$:

HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x^2+y^2=2(xy)^2\\ (x+y)(1+xy)=2(x^2+y^2)\end{matrix}\right.\Rightarrow 4(xy)^2=(x+y)(1+xy)\)

\(\Rightarrow 16(xy)^4=(x+y)^2(1+xy)^2\)

Nếu $xy+1=0\Rightarrow xy=-1$

$4x^2y^2=(x+y)(xy+1)=0\Rightarrow xy=0$ ( mâu thuẫn với $xy=-1$)

Do đó $xy+1\neq 0$

$(1)\Leftrightarrow (x+y)^2(xy+1)^2=2xy(xy+1)^3$

$\Leftrightarrow 16x^4y^4=2xy(xy+1)^3$

$\Leftrightarrow 2xy[(2xy)^3-(xy+1)^3]=0$
Nếu $xy=0$ thì từ $(1)\Rightarrow x+y=0$

$\Rightarrow x=y=0$. Thử lại thấy thỏa mãn.

Nếu $(2xy)^3-(xy+1)^3=0$

$\Rightarrow 2xy=xy+1\Rightarrow xy=1$

Thay vào PT $(1)\Rightarrow (x+y)^2=2xy.2=4xy$

$\Leftrightarrow (x-y)^2=0\Rightarrow x=y$

$\Rightarrow x=y=1$

Vậy HPT có nghiệm $(x,y)=(0,0); (1,1)$

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Wang Soo Yi
Xem chi tiết
Mỹ Lệ
Xem chi tiết
poppy Trang
Xem chi tiết
Kiều Ngọc Tú Anh
Xem chi tiết
Phạm Minh Quang
Xem chi tiết
Trx Bình
Xem chi tiết
Kim Trí Ngân
Xem chi tiết
Nguyễn Đức Anh
Xem chi tiết
Kun ZERO
Xem chi tiết