Violympic toán 9

Curry

Cho hàm số y=ax-a-2, a khác 0

a) C/m đồ thị (D) luôn đi qua 1 điểm cố định khi a thay đổi

b) Xác định a để khoảng cách từ O đến (D) lớn nhất

Akai Haruma
Akai Haruma Giáo viên 30 tháng 5 2020 lúc 12:06

Lời giải:

Gọi điểm cố định mà $(D)$ luôn đi qua khi $a$ thay đổi là $(x_0,y_0)$ Ta có:

$y_0=ax_0-a-2$ với mọi $a$

$\Leftrightarrow a(x_0-1)-(y_0+2)=0$ với mọi $a$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_0-1=0\\ y_0+2=0\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_0=1\\ y_0=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy điểm cố định là có tồn tại và là điểm $(1,-2)$

b)

Gọi $A,B$ là giao điểm của $(D)$ với lần lượt trục Ox, Oy

$A\in Ox\Rightarrow y_A=0$

$A\in (D)\Rightarrow x_A=\frac{y_A+a+2}{a}=\frac{a+2}{a}$

$B\in Oy\Rightarrow x_B=0$

$B\in (D)\Rightarrow y_B=ax_B-a-2=-(a+2)$

Tất nhiên để tồn tại khoảng cách từ $O$ đến $(D)$ thì $O\not\in (D)$

$\Rightarrow -a-2\neq 0\Rightarrow a\neq -2$

Khoảng cách từ $O$ đến $(D)$ là $d$. Theo công thức hệ thức lượng trong tam giác vuông:

\(\frac{1}{d^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}=\frac{1}{|x_A|^2}+\frac{1}{|y_B|^2}=\frac{a^2}{(a+2)^2}+\frac{1}{(a+2)^2}=\frac{a^2+1}{(a+2)^2}\)

\(\Rightarrow d^2=\frac{(a+2)^2}{a^2+1}=\frac{a^2+4a+4}{a^2+1}=1+\frac{4a+3}{a^2+1}\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

$a^2+\frac{1}{4}\geq |a|\geq a$

$\Rightarrow a^2+1\geq a+\frac{3}{4}=\frac{4a+3}{4}$

$\Rightarrow d^2=1+\frac{4a+3}{a^2+1}\leq 1+\frac{4a+3}{\frac{4a+3}{4}}=5$

$\Rightarrow d\leq \sqrt{5}$

Vậy khoảng cách từ $O$ đến $(D)$ lớn nhất là $\sqrt{5}$ khi $a^2=\frac{1}{4}$ và $a>0$ hay a=\frac{1}{2}$

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN