Violympic toán 8

Trần Anh Thơ

Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn \(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\) = 0. CMR

\(\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}\) = 0

Nguyễn Thị Ngọc Thơ
28 tháng 5 2020 lúc 20:14

#Xin lỗi cho t gửi nhờ

Ta có:

\(\frac{x}{1+4y^2}=\frac{x\left(1+4y^2\right)-4xy^2}{1+4y^2}=x-\frac{4xy^2}{1+4y^2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm, ta có:

\(1+4y^2\ge4y\Rightarrow\frac{4xy^2}{1+4y^2}\le\frac{4xy^2}{4y}=xy\) \(\Rightarrow-\frac{4xy^2}{1+4y^2}\ge-xy\)

\(\Rightarrow\frac{x}{1+4y^2}\ge x-xy\)

Tương tự ta có: \(P\ge x+y+z-\left(xy+yz+zx\right)\)

C/m ở câu a: \(xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

\(\Rightarrow-\left(xy+yz+zx\right)\ge-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)

Khi đó: \(P\ge x+y+z-\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}=\frac{3}{2}-\frac{\left(\frac{3}{2}\right)^2}{3}=\frac{3}{4}\)

Dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{2}\)

Vậy...

Bình luận (0)
Akai Haruma
29 tháng 5 2020 lúc 0:04

Lời giải:

Nên bổ sung thêm điều kiện $a,b,c$ đôi một phân biệt. Đặt biểu thức cần chứng minh bằng $0$ là $P$

Ta có:

\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)

\(\Rightarrow \left(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}\right)\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow \frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}+\frac{b}{(b-c)(c-a)}+\frac{c}{(b-c)(a-b)}+\frac{a}{(c-a)(b-c)}+\frac{c}{(c-a)(a-b)}+\frac{a}{(a-b)(b-c)}+\frac{b}{(a-b)(c-a)}=0\)

\(\Leftrightarrow P+\frac{b(a-b)+c(c-a)+a(a-b)+c(b-c)+a(c-a)+b(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0\)

\(\Leftrightarrow P+\frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0\Rightarrow P=0\) (đpcm)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Xuan Xuannajimex
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thu Hằng
Xem chi tiết
 nguyễn hà
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
Linh nè
Xem chi tiết
mr. killer
Xem chi tiết
Lê Thị Thế Ngọc
Xem chi tiết
Lunox Butterfly Seraphim
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết