Question

Cho tam giác ABC cân tại A; điểm D thuộc BC ; điểm E thuộc tia đối CB sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt đường thẳng AB, AC tại M, N. Chứng minh rằng:

a) DM=EN , AD >EN

b) MN cắt BC tại trung điểm MN

c) Đường trung trực của MN luôn đi qua 1 điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC

Answer 1

c,
Vẽ AH vuông góc với BC (H thuộc BC), ta có:
- Chứng minh (cạnh huyền - góc nhọn) (2 góc tương ứng)
Gọi O là giao điểm của AH với đường vuông góc với MN tại I, ta có:
- Chứng minh (c.g.c) (2 góc tương ứng) (1)
- Chứng minh (c.g.c) (2 cạnh tương ứng)
- Chứng minh (c.c.c) (2 góc tương ứng) (2)
Lại có: N thuộc tia đối AC (gt) nên C thuộc đoạn AN
(2 góc kề bù) (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
Điểm O cố định vì OB vuông góc với AB tại B và OC vuông góc với AC tại C (hay OB và OC duy nhất)
Vậy đường trung trực của MN luôn đi qua 1 điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC