Violympic toán 9

Nguyễn Bùi Đại Hiệp

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn c\(\ge\)a.Chứng minh rằng:

\(\left(\frac{a}{a+b}\right)^2+\left(\frac{b}{b+c}\right)^2+4\left(\frac{c}{c+a}\right)^2\ge\frac{3}{2}\)

Nguyễn Việt Lâm
25 tháng 5 2020 lúc 15:07

Đặt vế trái là P

\(P=\left(\frac{1}{1+\frac{b}{a}}\right)^2+\left(\frac{1}{1+\frac{c}{b}}\right)^2+4\left(\frac{1}{1+\frac{a}{c}}\right)^2\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{b}{a}=x>0\\\frac{c}{b}=y>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow xy=\frac{c}{a}\ge1\)

\(P=\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}+4\left(\frac{1}{1+\frac{1}{xy}}\right)^2=\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}+4\left(\frac{xy}{1+xy}\right)^2\)

\(P\ge\frac{1}{1+xy}+4\left(\frac{xy}{1+xy}\right)^2\)

Đặt \(xy=t\ge1\Rightarrow P\ge\frac{1}{1+t}+4\left(\frac{t}{1+t}\right)^2\)

Ta chỉ cần chứng minh \(\frac{1}{1+t}+4\left(\frac{t}{1+t}\right)^2\ge\frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow1+t+4t^2\ge\frac{3}{2}\left(1+t\right)^2\)

\(\Leftrightarrow8t^2+2t+2\ge3t^2+6t+3\)

\(\Leftrightarrow5t^2-4t-1\ge0\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(5t+1\right)\ge0\) (luôn đúng \(\forall t\ge1\))

Dấu "=" xảy ra khi \(t=1\) hay \(a=b=c\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
fghj
Xem chi tiết
Châu Hà
Xem chi tiết
Nguyễn Thanh Hiền
Xem chi tiết
Phan Tiến Nhật
Xem chi tiết
bt ko
Xem chi tiết
Đại Ngọc
Xem chi tiết
Nano Thịnh
Xem chi tiết
asuna
Xem chi tiết
Vương Thiên Nhi
Xem chi tiết