Question

Cho a, b là 2 số hữu tỉ khác 0 thỏa mãn \(a^3+b^3=2a^2b^2\)

Chứng minh\(\sqrt{1-\frac{1}{ab}}\) là số hữu tỉ

Answer 1

\(a^3+b^3=2a^2b^2\Leftrightarrow\frac{a}{b^2}+\frac{b}{a^2}=2\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{a}{b^2}=x\\\frac{b}{a^2}=y\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x;y\in Q\)

Ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\xy=\frac{1}{ab}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) Theo Viet đảo, x và y là nghiệm:

\(t^2-2t+\frac{1}{ab}=0\)

\(\Delta'=1-\frac{1}{ab}\)

Do x;y hữu tỉ \(\Leftrightarrow\sqrt{\Delta'}\) hữu tỉ \(\Rightarrow\sqrt{1-\frac{1}{ab}}\) hữu tỉ