Question

Giá trị của m để hai bất phương trình \(x^2\left(x-5\right)>4-5x\) và \(mx-5>x-2m\) có cùng tập nghiệm

Answer 1

\(x^2\left(x-5\right)>4-5x\)

\(\Leftrightarrow x^3-5x^2+5x-4>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-4\right)\left(x^2-x+1\right)>0\)

\(\Leftrightarrow x-4>0\) (do \(x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0;\forall x\))

\(\Rightarrow x>4\)

Để 2 BPT có cùng tập nghiệm thì \(mx-5>x-2m\) có nghiệm \(x>4\)

\(mx-x>-2m+5\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)x>-2m+5\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\x>\frac{-2m+5}{m-1}\\\frac{-2m+5}{m-1}=4\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\-2m+5=4m-4\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m=\frac{3}{2}\)