Violympic toán 9

Nguyễn Bùi Đại Hiệp

Cho a,b,c,đ thỏa mãn điều kiện ac-bd=1.Chứng minh rằng:

a2+b2+c2+d2+ad+bc\(\ge\)\(\sqrt{3}\)

Akai Haruma
12 tháng 5 2020 lúc 23:13

Lời giải:

Đặt biểu thức đã cho là $A$.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(a^2+b^2+c^2+d^2\geq 2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}\)

Mà:
\((a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\)

\(=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=1+(ad+bc)^2\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\geq 2\sqrt{1+(ad+bc)^2}\)

\(\Rightarrow A\geq 2\sqrt{1+(ad+bc)^2}+ad+bc\). Đặt $ad+bc=t$ thì: $A\geq 2\sqrt{t^2+1}+t$.

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((t^2+1)\left[(\frac{-1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2\right]\geq (\frac{-t}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})^2\)

\(\Leftrightarrow \sqrt{t^2+1}\geq |\frac{-t}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}|\)

\(\Rightarrow A\geq 2\sqrt{t^2+1}+t\geq 2|\frac{-t}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}|+t\geq 2(\frac{-t}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})+t=\sqrt{3}\) (đpcm)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
hoàng minh chính
Xem chi tiết
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
Nguyễn Hoàng Phúc
Xem chi tiết
yeens
Xem chi tiết
Bi Bi
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Thơ Trần
Xem chi tiết
做当当
Xem chi tiết
Gia An Ho
Xem chi tiết