\(x+y+z+xy+yz+zx=\frac{9}{4}\)
Ta có:
\(4x^2+1+4y^2+1+4z^2+1\ge4x+4y+4z\)
\(4\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge4\left(xy+yz+zx\right)\)
Cộng vế với vế:
\(8\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge4\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)\)
\(\Leftrightarrow8\left(x^2+y^2+z^2\right)+3\ge9\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2\ge\frac{3}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy+yz+zx=5. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\(P=\frac{3x+3y+3z}{\sqrt{6\left(x^2+5\right)}+\sqrt{6\left(y^2+5\right)}+\sqrt{6\left(z^2+5\right)}}\)
Cho 3 số thực: x; y; z thỏa mãn: \(x\ge1;y\ge4;z\ge9\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(M=\dfrac{yz.\sqrt{x-1}+zx.\sqrt{y-4}+xy.\sqrt{z-9}}{xyz}\)
Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn \(x+y+z\le\frac{3}{2}\). Tìm GTNN của biểu thức:
\(P=\frac{x\left(yz+1\right)^2}{z^2_{ }\left(zx+1\right)}+\frac{y\left(zx+1\right)^2}{x^2\left(xy+1\right)}+\frac{z\left(xy+1\right)^2}{y^2\left(yz+1\right)}\)
1) Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\frac{x^2\left(y+z\right)}{yz}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{zx}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{xy}\)
2)Cho x>y và x+y≤1 .Tìm Min của A=\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}\)
a) Tìm cặp số x,y nguyên dương thỏa mãn \(x^2+y^2\left(x-y+1\right)-\left(x-1\right)y=22\)
b) Tìm các cặp số x,y,z nguyên dương thỏa mãn \(\dfrac{xy+yz+zx}{x+y+z}=4\)
cho x,y,z là các số dương thỏa mãn x3+y3+z3=8
tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức H=\(\frac{x^2+y^2}{xy\left(x+y\right)^3}+\frac{y^2+z^2}{yz\left(y+z\right)^3}+\frac{z^2+x^2}{zx\left(z+x\right)^3}\)
1, cho 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn:x+y+z=9
Tìm GTNN của biểu thức: S=\(\frac{x^3}{x^2+xy+y^2}+\frac{y^3}{y^2+yz+z^2}+\frac{z^3}{z^2+zx+x^2}\)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn đẳng thức xy+yz+zx=5. Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6\left(x^2+5\right)}+\sqrt{6\left(y^2+5\right)}+\sqrt{z^2+5}}\)
Cho x,y,z >0 thỏa mãn điều kiện
\(xy+yz+zx=xyz\). Tìm GTNN của biểu thức P=\(\frac{x}{y^2}+\frac{y}{z^2}+\frac{z}{x^2}+6\left(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}\right)\)
