Question

Tìm GTNN của biểu thức B với x,y >0

\(B=2\left(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\right)-5\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+6\)

Answer 1

Đặt \(t=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}>0\Rightarrow t^2=\left(\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\right)^2+4\ge4\Rightarrow t\ge2\)

\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}=t^2-2\)

\(\Rightarrow B=2\left(t^2-2\right)-5t+6=2t^2-5t+2\)

\(B=\left(2t-1\right)\left(t-2\right)\)

Do \(t\ge2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2t-1>0\\t-2\ge0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\ge0\)

\(B_{min}=0\) khi \(t=2\) hay \(x=y\)