Question

Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm tùy ý trên cạnh BC. Gọi H, K lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến các cạnh AB và AC.

a) Chứng minh HK=AD

b) Điểm D nằm ở vị trí nào trên cạnh BC thì tứ giác AHDK là hình vuông?

c) Điểm D nằm ở vị trí nào trên cạnh BC thì HK có độ dài ngắn nhất?

Answer 1

a) Xét tứ giác AHDK có

\(\widehat{KAH}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0\), H∈AB, K∈AC)

\(\widehat{AHD}=90^0\)(DH⊥AB)

\(\widehat{AKD}=90^0\)(DK⊥AC)

Do đó: AHDK là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

⇒HK=AD(hai đường chéo của hình chữ nhật AHDK)

b) Để hình chữ nhật AHDK là hình vuông thì AD là tia phân giác của \(\widehat{KAH}\)

hay AD là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\)

Vậy: Khi D là chân đường phân giác kẻ từ A xuống BC thì AHDK là hình vuông

c) Ta có: HK=AD(cmt)

mà HK ngắn nhất

⇔AD ngắn nhất

Ta có: ΔADH vuông tại H có AD là cạnh huyền

⇔AD là cạnh lớn nhất trong ΔADH

hay AD>AH

Vậy thì AD ngắn nhất khi AD=AH

hay D trùng với H

⇒HK có độ dài ngắn nhất khi D là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC