Gọi H là trung điểm AO \(\Rightarrow HM\) là đường trung bình tam giác SAO
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}HM//SO\\HM=\frac{1}{2}SO\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow HM\perp\left(ABCD\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{MNH}\) là góc giữa MN và (ABCD) \(\Rightarrow\widehat{MNH}=60^0\)
\(NH=\sqrt{\left(\frac{3a}{4}\right)^2+\left(\frac{a}{4}\right)^2}=\frac{a\sqrt{10}}{4}\)
\(\Rightarrow MH=NH.tan60^0=\frac{a\sqrt{30}}{4}\)
\(SO=2MH=\frac{a\sqrt{30}}{2}\)
\(MN=\frac{NH}{cos60^0}=\frac{a\sqrt{10}}{2}\)
b/ Gọi E; F lần lượt là trung điểm AB; AD \(\Rightarrow EF//BD\) \(\Rightarrow\left(MEF\right)//\left(SCD\right)\Rightarrow\) góc giữa MN và (SBD) bằng góc giữa MN và (MEF)
\(EN//AC\) (do EN là đường trung bình tam giác ABC)
Mà \(AC\perp\left(SBD\right)\Rightarrow AC\perp\left(MEF\right)\Rightarrow EN\perp\left(MEF\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{NME}\) là góc giữa NM và (MEF)
\(EN=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(\Rightarrow sin\widehat{NME}=\frac{EN}{MN}=\frac{\sqrt{5}}{5}\Rightarrow\widehat{NME}\approx26^033'\)
