Bài 1: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

Vân Trang

Cho hàm số: \(y=f(x)= \begin{cases} {\dfrac{4x-4}{x+1} \ (x>1) \\ 2x-2 \ (x \leq 1)}\end{cases}\)

Tính đạo hàm của hàm số \(y=f(x)\) trên \(R\) (dùng định nghĩa)

(Xét từng trường hợp x>1, x<1, x=1)

Nguyễn Việt Lâm
28 tháng 4 2020 lúc 23:18

Nhìn thấy đạo hàm bằng định nghĩa là thấy ớn, dài dữ dội

- Khi \(x>1\) \(\Rightarrow f\left(x\right)=\frac{4x-4}{x+1}\)

\(\Delta x=x-x_0\) \(\Rightarrow\Delta y=\frac{4\Delta x+4x_0-4}{x_0+\Delta x+1}-\frac{4x_0-4}{x_0+1}=\frac{8\Delta x}{\left(x_0+1\right)\left(x_0+1+\Delta x\right)}\)

\(\Rightarrow f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{8\Delta x}{\Delta x\left(x_0+1\right)\left(x_0+1+\Delta x\right)}=\frac{8}{\left(x_0+1\right)^2}\)

- Khi \(x< 1\Rightarrow f\left(x\right)=2x-2\)

\(\Delta x\) là số gia của \(x_0< 1\)

\(\Rightarrow\Delta y=2\left(x_0+\Delta x\right)-2-\left(2x_0-2\right)=2\Delta x\)

\(\Rightarrow f'\left(x_0\right)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{2\Delta x}{\Delta x}=2\)

- Khi \(x\rightarrow1^+\Rightarrow\Delta y\rightarrow2\left(1+\Delta x\right)-2\rightarrow2\Delta x\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^+}f'\left(x\right)=\lim\limits_{\Delta x\rightarrow0}\frac{2\Delta x}{\Delta x}=2\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow1^-}f'\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow1^-}\frac{8}{\left(1+1\right)^2}=2\)

\(\Rightarrow f'\left(1\right)=2\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Vân Trang
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Vân Trang
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết
Đặng Thị Tú Linh
Xem chi tiết
Phạm Thị Thúy Giang
Xem chi tiết
Đặng Thị Tú Linh
Xem chi tiết
Nguyễn Dân Lập
Xem chi tiết