Question

Cho \(f(x)=\begin{cases} {\sqrt{5-x^2} \ khi \ -\sqrt{5} \leq x\leq2 \\ x^2+bx+c \ khi \ x>2} \end{cases}\)

Tìm b, c để hàm số có đạo hàm tại \(x_0=2\)

Answer 1

Để hs có đạo hàm trước hết nó phải liên tục

\(\lim\limits_{x\rightarrow2^-}f\left(x\right)=f\left(2\right)=1\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow2^+}f\left(x\right)=2b+c+4\)

\(\lim\limits_{x\rightarrow2^-}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow2^+}f\left(x\right)=f\left(x\right)\Rightarrow2b+c+4=1\Rightarrow2b+c=-3\)

Mặt khác ta có: \(f'\left(x\right)_{-\sqrt{5}\le x\le2}=\frac{-x}{\sqrt{5-x^2}}\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow2^-}f'\left(x\right)=\frac{-2}{1}=-2\)

\(f'\left(x\right)_{x>2}=2x+b\Rightarrow\lim\limits_{x\rightarrow2^+}f'\left(x\right)=b+4\)

Để hàm số có đạo hàm tại \(x=2\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2b+c=-3\\b+4=-2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=-6\\c=9\end{matrix}\right.\)