ĐKXĐ:...
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{y}+x-4\right)\left(\sqrt{y}-x+4\right)=\sqrt{x+y}+\sqrt{x+y-9}+2\)
\(\Leftrightarrow y-\left(x-4\right)^2=\sqrt{x+y}+\sqrt{\left(y-5\right)^2}+2\)
- Với \(y\ge5\)
\(\Leftrightarrow3-\left(x-4\right)^2=\sqrt{x+y}\)
Do \(x+y=9+\left(y-5\right)^2\ge9\Rightarrow\sqrt{x+y}\ge3\)
Mà \(3-\left(x-4\right)^2\le3\)
\(\Rightarrow\) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}x-4=0\\x+y=9\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=5\end{matrix}\right.\)
- Với \(0\le y< 5\)
\(\Leftrightarrow y-\left(x-4\right)^2=\sqrt{x+y}+5-y+2\)
\(\Leftrightarrow2y-\left(x-4\right)^2=\sqrt{x+y}+7\)
Ta có: \(y< 5\Rightarrow VT=2y-\left(x-4\right)^2\le2y< 10\)
\(VP=\sqrt{x+y}+7\ge3+7=10\)
\(\Rightarrow VP>VT\Rightarrow\) phương trình vô nghiệm
Vậy hệ có nghiệm duy nhất \(\left(x;y\right)=\left(4;5\right)\)
