a) Xét ΔAIB và ΔAIC có
AB=AC(gt)
\(\widehat{BAI}=\widehat{CAI}\)(AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\))
AI là cạnh chung
Do đó: ΔAIB=ΔAIC(c-g-c)
⇒BI=CI(hai cạnh tương ứng)
Ta có: ΔAIB=ΔAIC(cmt)
⇒\(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{AIB}+\widehat{AIC}=180^0\)(hai góc kề bù)
nên \(\widehat{AIB}=\widehat{AIC}=\frac{180^0}{2}=90^0\)
⇒AI⊥BC
hay MI⊥BC
Xét ΔMBI vuông tại I và ΔMCI vuông tại I có
BI=CI(cmt)
MI là cạnh chung
Do đó: ΔMBI=ΔMCI(hai cạnh góc vuông)
⇒BM=CM(hai cạnh tương ứng)(đpcm)
b) Ta có: AB=AC(cmt)
nên A nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(1)
Ta có: IB=IC(cmt)
nên I nằm trên đường trung trực của BC(tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng)(2)
Từ (1) và (2) suy ra AI là đường trung trực của BC(đpcm)
c) Ta có: AI⊥BC(cmt)
DH⊥BC(gt)
Do đó: AI//DH(định lí 1 từ vuông góc tới song song)
⇒\(\widehat{BDH}=\widehat{BAI}\)(hai góc đồng vị)
mà \(\widehat{BAC}=2\cdot\widehat{BAI}\)(AI là tia phân giác của \(\widehat{BAC}\))
nên \(\widehat{BAC}=2\cdot\widehat{BDH}\)(đpcm)
