Question

1. Chứng minh có vô hạn số nguyên tố 4k + 3

2. Tìm p,q mà \(p^2-5q^2=4\)

Answer 1

@Nguyễn Việt Lâm giúp em với ạ

Answer 2

1,

Giả sử tồn tại hữu hạn số nguyên tố có dạng $4k+3$
Do đó các số nguyên tố có dạng $4k+3$ là $p_1,p_2,...,p_n$ với $p_1<p_2<...<p_n$ và thấy có số nguyên tố $4k+3$ nên $p_i$ khác rỗng
Ta xét $A=2.p_1.p_2...p_n+1$
Thấy $p_1.p_2...p_n$ lẻ (do $p_i$ nguyên tố $4k+3$)
Suy ra $A\equiv 3\left(\mathrm{mod}4\right)$
TH1: $A$ nguyên tố suy ra $A>p_n$ mà $A\equiv 3\left(\mathrm{mod}4\right)$ vô lý với giả sử nên có $đpcm$
TH2: $A$ là hợp số suy ra trong các ước nguyên tố của $A$ phải có ít nhất một ước nguyên tố chia $4$ dư $3$ vì nếu toàn chia $4$ dư $1$ thì $A$ chia $4$ dư $1$ suy ra vô lý suy ra tồn tại $A⋮p_{n+1}$ với $p_{n+1}\equiv 3\left(\mathrm{mod}4\right)$
Dễ thấy $p_{n+1}>p_n$ vì nếu $p_{n+1}\le p_n$ suy ra $2.p_1.p_2...p_n⋮p_{n+1}\Rightarrow 1⋮p_{n+1}$ vô lý
Do đó $p_{n+1}>p_n$ mâu thuẫn điều giả sử suy ra $đpcm$

Answer 3

2,

Ta có:

$p^2=5q^2+4$ chia 5 dư 4 suy ra $p=5k+2(k\in N^{\ast })$

Ta có:

$(5k+2{)}^2=5q^2+4\iff 5k^2+4k=q^2\Rightarrow q^2⋮k$

Mặt khác q là số nguyên tố và $q>k$ nên $k=1$. Thay vào ta được $p=7,q=3$

Answer 4

@Nguyễn Việt Lâm giúp em với ạ