Câu hỏi của Minh Anh

Question

Câu 72: Xét các số thực dương x,y thỏa mãn 2x + 2y = 4. Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P = (2x2 + y)(2y2 + x) + 9xy

Nguyễn Việt Lâm · Accepted Answer

$4=2^x+2^y\ge2\sqrt{2^{x+y}}=2.2^{\frac{x+y}{2}}$

$\Rightarrow\frac{x+y}{2}\le1\Rightarrow x+y\le2\Rightarrow xy\le1$

$P=4x^2y^2+2x^3+2y^3+10xy$

$P=4x^2y^2+10xy+2\left(x+y\right)^3-6xy\left(x+y\right)$

$P=4x^2y^2-2xy+16=2\left(xy-1\right)\left(2xy+1\right)+18$

Do $xy\le1\Rightarrow2\left(xy-1\right)\left(2xy+1\right)\le0\Rightarrow P\le18$

$\Rightarrow P_{max}=18$ khi $x=y=1$Câu trả lời: $4=2^x+2^y\ge2\sqrt{2^{x+y}}=2.2^{\frac{x+y}{2}}$

$\Rightarrow\frac{x+y}{2}\le1\Rightarrow x+y\le2\Rightarrow xy\le1$

$P=4x^2y^2+2x^3+2y^3+10xy$

$P=4x^2y^2+10xy+2\left(x+y\right)^3-6xy\left(x+y\right)$

$P=4x^2y^2-2xy+16=2\left(xy-1\right)\left(2xy+1\right)+18$

Do $xy\le1\Rightarrow2\left(xy-1\right)\left(2xy+1\right)\le0\Rightarrow P\le18$

$\Rightarrow P_{max}=18$ khi $x=y=1$

Chương 2: HÀM SỐ LŨY THỪA. HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT