Question

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (m;n) thoả mãn phương trình \(2^m.m^2=9n^2-12n+19\)

Answer 1

\(2^mm^2=3\left(3n^2-4m+6\right)+1\)

Do vế phải chia 3 dư 1 nên vế trái chia 3 dư 1 \(\Rightarrow\) m ko chia hết cho 3

- Trường hợp 1: \(m\) lẻ \(\Rightarrow m=2k+1\Rightarrow2^m=2^{2k+1}=2.4^k\) chia 3 dư 2

Mà \(m^2\) luôn chia 3 dư 1 khi \(m⋮̸3\)

\(\Rightarrow VT\) chia 3 dư 2 \(\Rightarrow\) không tồn tại m, n thỏa mãn

- Trường hợp 2: m chẵn \(\Rightarrow m=2k\)

\(\Leftrightarrow2^{2k}.\left(2k\right)^2=\left(3n-2\right)^2+15\)

\(\Leftrightarrow\left(2^k.2k\right)^2-\left(3n-2\right)^2=15\)

\(\Leftrightarrow\left(2^k.2k-3n+2\right)\left(2^k.2k+3n-2\right)=15\)

Phương trình ước số cơ bản, dễ dàng tìm ra n từ đó tìm ra k. Bạn tự giải nốt