Question

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 

\(A\)\(=\)\(\sqrt{x-2\sqrt{x-5-4}}\)\(+\)\(\sqrt{x+2\sqrt{x-5-4}}\)

Mong các CTV giải giùm mình!

Answer 1

ta có \(\sqrt{x-2\sqrt{x-9}}=\sqrt{\left(x-9\right)-2\sqrt{x-9}+1+8}=\sqrt{\left(1-\sqrt{x-9}\right)^2+\left(\sqrt{8}\right)^2}.\)

   Tương tự ta cũng có \(\sqrt{x+2\sqrt{x-9}}=\sqrt{\left(\sqrt{x-9}+1\right)^2+\left(\sqrt{8}\right)^2}\)

    Áp dụng BĐT \(\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{c^2+d^2}\ge\sqrt{\left(a+c\right)^2+\left(b+d\right)^2}\)   ( bẠN TỰ CM NHA)

          Dấu bằng xảy ra khi ad=bc

Ta có \(A\ge\sqrt{\left(1-\sqrt{x-9}+\sqrt{x-9}+1\right)^2+\left(\sqrt{8}+\sqrt{8}\right)^2}\)

    \(\Rightarrow A\ge6\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\left(1-\sqrt{x-9}\right)\sqrt{8}=\left(\sqrt{x-9}+1\right)\sqrt{8}\)

                             hay X = 9

Vậy Min A= 6 khi X=9

Answer 2

Điều kiện: x\(\ge\)9

\(A=\sqrt{x-2\sqrt{x-5-4}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-5-4}}=\sqrt{x-2\sqrt{x-9}}+\sqrt{x+2\sqrt{x-9}}\)

\(A=\sqrt{x-9-2\sqrt{x-9}+1+8}+\sqrt{x-9+2\sqrt{x-9}+1+8}\)

\(A=\sqrt{\left(\sqrt{x-9}-1\right)^2+8}+\sqrt{\left(\sqrt{x-9}+1\right)^2+8}\)

Ta nhận thấy: \(\sqrt{\left(\sqrt{x-9}-1\right)^2+8}\ge\sqrt{8}\) Và \(\sqrt{\left(\sqrt{x-9}+1\right)^2+8}>\sqrt{9}\)Với mọi x\(\ge\)9

=>  A đạt giá trị nhỏ nhất khi \(\left(\sqrt{x-9}-1\right)^2=0\) <=> x=10

=> Giá trị nhỏ nhất của A là: \(\sqrt{8}+\sqrt{12}=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}=2\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)\)