Violympic toán 8

๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG

Cho a, b là 2 số dương thỏa mãn: a + b = 2. Tìm GTNN của M = \(\frac{a^2}{1+a}+\frac{b^2}{1+b}\)

Trần Quốc Khanh
10 tháng 4 2020 lúc 14:38

C1: Dùng BĐT Shwarz ta có:

\(\frac{a^2}{1+a}+\frac{b^2}{1+b}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b+1+1}=\frac{4}{4}=1\)

Đẳng thức của BĐT Shwarz xảy ra khi

\(\frac{a^2}{1+a}=\frac{b^2}{1+b}\)

\(\Leftrightarrow a^2+a^2b=b^2+ab^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)+ab\left(a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b+ab\right)=0\)

Vậy a=b=1..Ko bk thì hỏi cách 2

Bình luận (0)
Trần Quốc Khanh
10 tháng 4 2020 lúc 14:50

C2: Dự đoán điểm rơi a=b=1 thay vào đc M=1, vậy MIN M=1

Vậy ta cần CM: \(\frac{a^2}{1+a}+\frac{b^2}{1+b}\ge\frac{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2\left(1+b\right)+b^2\left(1+a\right)-\left(1+a\right)\left(1+b\right)}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge0\)

Mà (1+a)(1+b)>0 với a,b dương nên cần chứng minh

\(a^2+a^2b+b^2+ab^2-1-a-b-ab\ge0\)

Ta có: VT=\(\left(a+b\right)^2-2ab+ab\left(a+b\right)-\left(a+b\right)-ab-1\)

\(\Leftrightarrow VT=4-2ab+2ab-2-ab-1\)

\(\Leftrightarrow VT=1-ab\)(1)

Áp dụng cosi ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow2\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow1\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow1\ge ab\)

Vậy (1) luôn \(\ge0\)

Nên ta có ĐPCM

SUy ra MIN M=1 với a=b=1

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
10 tháng 4 2020 lúc 17:58

Sử dụng Cauchy thuần cũng đơn giản thôi:

\(\frac{a^2}{1+a}+\frac{1+a}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2\left(1+a\right)}{4\left(1+a\right)}}=a\) ; \(\frac{b^2}{1+b}+\frac{1+b}{4}\ge b\)

Cộng vế với vế:

\(\frac{a^2}{1+a}+\frac{b^2}{1+b}+\frac{2+a+b}{4}\ge a+b\)

\(\Leftrightarrow M+\frac{4}{4}\ge2\Leftrightarrow M\ge1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
๖ۣۜDũ๖ۣۜN๖ۣۜG
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Nguyệt Ánh
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Nguyệt Ánh
Xem chi tiết
Không Bít
Xem chi tiết
CCDT
Xem chi tiết
Trần Anh Thơ
Xem chi tiết
✿✿❑ĐạT̐®ŋɢย❐✿✿
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết